旋转矩阵与四元数

用旋转矩阵描述旋转

如图所示，坐标系$O{x}_1{y}_1{z}_1$为$O{x}_0{y}_0{z}_0$旋转得到，记其三个单位基向量$x_1$, $y_1$, $z_1$在$O{x}_0{y}_0{z}_0$系下的坐标表示分别为$x_1^0$, $y_1^0$, $z_1^0$，则旋转矩阵为：

$$R_1^0=[x_1^0|y_1^0|z_1^0]$$

根据内积的定义，有

$$R_1^0=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1\cdot x_0& y_1\cdot x_0& z_1\cdot x_0\\ x_1\cdot y_0& y_1\cdot y_0& z_1\cdot y_0\\ x_1\cdot z_0& y_1\cdot z_0& z_1\cdot z_0\end{array}\right]$$

绕x, y, z三个轴旋转$\theta$角的旋转矩阵为：

$$R_{x,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$$$R_{y,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$$$R_{z,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Info

下文的旋转矩阵、向量、四元数等都用右上标表明是在哪个坐标系下描述的。

旋转矩阵的性质

• $R^T=R^{-1}$
• $R\in SO(3)$
• $det(R)=1$
• $R$的各行、各列相互正交，且都是单位向量

用旋转矩阵表示坐标变换

• 点/向量坐标变换：

$$p^0=R_1^0{p}^1$$

• 线性变换的坐标变换：

$$T^1=(R_1^0{)}^{-1}{T}^0{R}_1^0$$

Tips

这个变换在线性代数里面叫做相似变换，其几何意义就是在不同坐标系下对同一矩阵（线性变换）的不同表示。

Important

特殊地，线性变换$T$可以是以一个旋转矩阵来描述的旋转运动，由此就得到了旋转运动在不同坐标系下的变换：

$$R^1=(R_1^0{)}^{-1}{R}^0{R}_1^0$$

旋转的叠加

• 绕随动坐标系的叠加：根据叠加的顺序，依次右乘旋转矩阵

• 绕固定坐标系的叠加：根据叠加的顺序，依次左乘旋转矩阵

证明

记绕固定坐标系的旋转为$R$，则$R_2^0=R_1^0((R_1^0{)}^{-1}R{R}_1^0)=R{R}_1^0$

旋转的转轴-角度表示

可以证明，三维刚体的任意旋转及其叠加，都可以用一个转轴（方向向量）和绕这个轴的旋转角度表示。记转轴$\overrightarrow{k}=[k_x{k}_y{k}_z{]}^T$，角度为$\theta$，则

$$R_{\overrightarrow{k},\theta }=\left[\begin{array}{ccc}{k}_x^2{v}_{\theta }+c_{\theta }& k_x{k}_y{v}_{\theta }-k_z{s}_{\theta }& k_x{k}_z{v}_{\theta }+k_y{s}_{\theta }\\ k_x{k}_y{v}_{\theta }+k_z{s}_{\theta }& k_y^2{v}_{\theta }+c_{\theta }& k_y{k}_z{v}_{\theta }-k_x{s}_{\theta }\\ k_x{k}_z{v}_{\theta }-k_y{s}_{\theta }& k_y{k}_z{v}_{\theta }+k_x{s}_{\theta }& k_z^2{v}_{\theta }+c_{\theta }\end{array}\right]$$

其中$c_{\theta }=\cos \theta$，$s_{\theta }=\sin \theta$，$v_{\theta }=\mathrm{versine}\theta =1-\cos \theta$。